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    std:: beta, std:: betaf, std:: betal

    From ja.cppreference.net
    C++
    Numerics library
    Mathematical special functions
    ヘッダーで定義 <cmath>
    (1)
    float beta ( float x, float y ) ;

    double beta ( double x, double y ) ;

    long double beta ( long double x, long double y ) ;
    		(C++17以降)
    (C++23まで)
    /* floating-point-type */ beta ( /* floating-point-type */ x,
    /* floating-point-type */ y ) ;
    		(C++23以降)
    float betaf ( float x, float y ) ;
    		(2) (C++17以降)
    long double betal ( long double x, long double y ) ;
    		(3) (C++17以降)
    ヘッダーで定義 <cmath>
    template < class Arithmetic1, class Arithmetic2 >
    /* common-floating-point-type */ beta ( Arithmetic1 x, Arithmetic2 y ) ;
    		(A) (C++17以降)
    1-3) x と y の Beta関数 を計算する。 ライブラリは、 std::beta のオーバーロードを、パラメータ x と y の型として、すべてのcv修飾されていない浮動小数点型に対して提供する。 (C++23以降)
    A) その他の算術型のすべての組み合わせに対して、追加のオーバーロードが提供されています。

    目次

    パラメータ

    x, y - 浮動小数点または整数値

    戻り値

    If no errors occur, value of the beta function of x and y , that is ∫ 1
    0     t x-1
    (1-t) (y-1)
    d t     , or, equivalently,
    Γ(x)Γ(y)
    Γ(x+y)
    is returned.

    エラー処理

    エラーは、 math_errhandling で指定されている通りに報告される場合があります。

    • いずれかの引数がNaNの場合、NaNが返され、定義域エラーは報告されません。
    • この関数は x および y がともにゼロより大きい場合にのみ定義する必要があり、それ以外の場合には定義域エラーの報告が許可されています。

    注記

    C++17をサポートしていないが、 ISO 29124:2010 をサポートしている実装では、実装が __STDCPP_MATH_SPEC_FUNCS__ を少なくとも201003L以上の値に定義しており、かつユーザーが標準ライブラリのヘッダーをインクルードする前に __STDCPP_WANT_MATH_SPEC_FUNCS__ を定義している場合、この関数を提供します。

    ISO 29124:2010をサポートしていないが、TR 19768:2007 (TR1) をサポートしている実装では、この関数はヘッダー tr1/cmath および名前空間 std::tr1 で提供されます。

    この関数の実装は boost.math でも利用可能です。

    std :: beta ( x, y ) は std :: beta ( y, x ) と等しい。

    When x and y are positive integers, std :: beta ( x, y ) equals
    (x-1)!(y-1)!
    (x+y-1)!
    . Binomial coefficients can be expressed in terms of the beta function: ⎛
    ⎜
    ⎝     n
    k     ⎞
    ⎟
    ⎠     =
    1
    (n+1)Β(n-k+1,k+1)
    .

    追加のオーバーロードは (A) と完全に同一である必要はありません。これらは、第一引数 num1 と第二引数 num2 に対して以下を保証するのに十分なものであれば良いのです：

    • num1 または num2 の型が long double の場合、 std :: beta ( num1, num2 ) は std :: beta ( static_cast < long double > ( num1 ) ,
      static_cast < long double > ( num2 ) )       と同じ効果を持つ。
    • それ以外の場合、 num1 および/または num2 の型が double または整数型の場合、 std :: beta ( num1, num2 ) は std :: beta ( static_cast < double > ( num1 ) ,
      static_cast < double > ( num2 ) )       と同じ効果を持つ。
    • それ以外の場合、 num1 または num2 の型が float の場合、 std :: beta ( num1, num2 ) は std :: beta ( static_cast < float > ( num1 ) ,
      static_cast < float > ( num2 ) )       と同じ効果を持つ。
    		(C++23以前)

    num1 と num2 が算術型を持つ場合、 std :: beta ( num1, num2 ) は std :: beta ( static_cast < /* common-floating-point-type */ > ( num1 ) ,
    static_cast < /* common-floating-point-type */ > ( num2 ) )     と同じ効果を持つ。ここで /* common-floating-point-type */ は num1 と num2 の型の間で最も高い 浮動小数点変換ランク と最も高い 浮動小数点変換サブランク を持つ浮動小数点型であり、整数型の引数は double と同じ浮動小数点変換ランクを持つと見なされる。

    最も高いランクとサブランクを持つ浮動小数点型が存在しない場合、 オーバーロード解決 は提供されたオーバーロードから使用可能な候補を生成しない。

    		(C++23以降)

    例

    このコードを実行 
    #include <cassert>
#include <cmath>
#include <iomanip>
#include <iostream>
#include <numbers>
#include <string>
long binom_via_beta(int n, int k)
{
    return std::lround(1 / ((n + 1) * std::beta(n - k + 1, k + 1)));
}
long binom_via_gamma(int n, int k)
{
    return std::lround(std::tgamma(n + 1) /
                      (std::tgamma(n - k + 1) * 
                       std::tgamma(k + 1)));
}
int main()
{
    std::cout << "パスカルの三角形:\n";
    for (int n = 1; n < 10; ++n)
    {
        std::cout << std::string(20 - n * 2, ' ');
        for (int k = 1; k < n; ++k)
        {
            std::cout << std::setw(3) << binom_via_beta(n, k) << ' ';
            assert(binom_via_beta(n, k) == binom_via_gamma(n, k));
        }
        std::cout << '\n';
    }
    // スポットチェック
    const long double p = 0.123; // [0, 1]の範囲のランダムな値
    const long double q = 1 - p;
    const long double π = std::numbers::pi_v<long double>;
    std::cout << "\n\n" << std::setprecision(19)
              << "β(p,1-p)   = " << std::beta(p, q) << '\n'
              << "π/sin(π*p) = " << π / std::sin(π * p) << '\n';
}

    出力: 

    パスカルの三角形:
                  2
                3   3
              4   6   4
            5  10  10   5
          6  15  20  15   6
        7  21  35  35  21   7
      8  28  56  70  56  28   8
    9  36  84 126 126  84  36   9
β(p,1-p)   = 8.335989149587307836
π/sin(π*p) = 8.335989149587307834

    関連項目

    (C++11) (C++11) (C++11)
    		ガンマ関数
    (関数)

    外部リンク

    Weisstein, Eric W. "Beta Function." From MathWorld — A Wolfram Web Resource.
    Weisstein, Eric W. "ベータ関数。" MathWorld — Wolfram Webリソースより。